2 понятие момента инерции материальной точки. Определение момента инерции
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
Школа естественных наук
Определение моментов инерции тел вращения
методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.
Учебно-методическое пособие
к лабораторной работе № 1.3
Владивосток
УДК53(о76.5)
Определение моментов инерции тел вращения
методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3 по дисциплине «физический практикум»// сост. В.Е.Полищук, Р.Ф.Полищук. – Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2013-с.12.
Пособие, подготовленное на кафедре общей физики Школы естественных наук ДВФУ, содержит методические указания к выполнению лабораторной работы по механике с целью экспериментального изучения момента инерции твердых тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Для студентов ДВФУ всех специальностей.
УДК 53(076.5)
Составители Полищук В.Е.
Полищук Р.Ф.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ)
Школа естественных наук
Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний.
Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3
По дисциплине «физический практикум»
Владивосток
Издательский дом Дальневосточного федерального университета
Целью данной лабораторной работы является изучение законов динамики вращательного движения твердого тела, экспериментальное измерение момента инерции простейших тел вращения и проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Основные понятия вращательного движения твердого тела .
Кроме понятия материальной точки, в механике используется модельное понятие абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.
Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе во все время движения (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и применять к нему второй закон Ньютона динамики материальной точки, т.е.
где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело, - импульс (количество движения) тела.
Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси, масса уже не является мерой его инертности, а сила – недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Кроме того, опыты показывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. Поэтому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела . При этом следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:
Вектор
момента силы
всегда перпендикулярен плоскости, в
которой расположены вектора
и
,
а его направление относительно этой
плоскости определяется правилом
векторного произведения или правилом
буравчика. Согласно правила век-торного
произведения, вектор
направлен перпендикулярно к плоскости,
содержащей векторы
и
,
в такую сторону, чтобы при рассматривании
с его конца вектор
мог быть совмещен с вектором
путем вращения против часовой стрелки
в сторону меньшего угла. Согласно
правила правого буравчика (рис.2), при
вращении его ручки в направлении от
к
в направлении меньшего угла a,
поступательное движение буравчика
определит направление вектора
При применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. Можно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).
Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие отобычных векторов (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют полярными или истинными.
Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (2), т.е. , где a - угол между направлениями векторов и . Величина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р - это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .
Моментом силы относительно оси , называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежащей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м. Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это понятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.
Моментом импульса материальной точки Δ m i относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку нахождения массы Δm i , на вектор импульса этой материальной точки:
где - импульс материальной точки.
Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геометрической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .
Моментом импульса твердого тела относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае момент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент импульса измеряется в .
Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инерции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс материальных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:
где I -момент инерции материальной точки.
Моментом инерции тела относительно точки О называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Расчетная формула момента инерции аналогична формуле (4). В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .
Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и размера тела.
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела .
Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.
Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm i , а радиус окружности, по которой она движется, r i . На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на материальную точку массы Δm i , на две взаимно перпендикулярные составляющие силыи , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направлению с касательной к траектории движения частицы, а сила - перпендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что вращение данной материальной точки обусловлено только касательной составляющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутренней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Δm i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:
(5)
С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекториям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (v i =wr i):
. (6)
Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус r i , который по отношению к результирующей силе является плечом:
(7)
Тогда получим:
где каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое ускорение вращения материальной точки массы Δm i относительно оси (=) и ее момент инерции ΔI i относительно этой же оси(=ΔI i), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:
Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных точек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:
Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внутренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по величине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент – есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающееся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции данного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных величин в уравнение (10) окончательно получим:
Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как =, а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:
Величина Iw=L (13)
называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) уравнение (12) можно записать в виде:
Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала) , принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:
(11 *); (12 *); (13 *); (14 *).
При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в уравнениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент количества движения).
Из уравнений (14) и (14 *) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:
dL=Mdt (15); (15 *) .
Согласно уравнению моментов относительно оси (15) – изменение момента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту импульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15 *) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.
Из уравнений (15) и (15 *) вытекает закон сохранения момента импульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М относительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).
Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор момента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоянным.
В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для простейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:
шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;
цилинд р – образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;
конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из его катетов и т.п.
В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колебаний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверяется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси проходящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = I o + mɑ 2 , где I – момент инерции тела относительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо момент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.
Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел вращения методом крутильных колебаний.
Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вращающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого определяется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем сообщающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.
Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций кручения, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (М z), т.е.
М z = - G·φ (16).
Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: М z = I z ·, где = - угловое ускорение, I z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,
М z = I z · (17).
Из (16) и (17) следует равенство: I z · = - G·φ. Или
Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде
+ω 2 φ = 0, (19)
где ω 2 = (20)
Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника являются гармоническими φ = φ о ·Sin(ω·t +α), где φ о – амплитуда углового смещения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- циклическая частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением
Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула экспериментального определения момента инерции I z для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:
I z =I= , (22)
Подготовка и выполнение лабораторной работы.
Рис.4 Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.
Как видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспериментальном определении моментов инерции указанных выше тел, является период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение
Измерение моментов инерции тел
1. На все исследуемые тела прикрепите узкий листок бумаги, шириной не более 3 мм. (рис.5).
2. Закрепите исследуемое тело на вращающемся валу, скрепленном с пружиной.
3.Установите штатив с пружиной и закрепленным твердым телом так, чтобы листок находился под световым барьером (рис.5).
4. Для светового барьера выберите режим измерений .
5. Отклоните исследуемое тело от положения равновесия приблизительно на 90 о и отпустите его, предварительно нажав на кнопку «Set» датчика светового барьера. Световой барьер измерит промежуток времени, равный периоду колебаний системы.
6. Для проведения повторных измерений сбросьте показания счетчика светового барьера, нажав на кнопку «Set». Через последующий цикл колебательного движения датчик вновь покажет значение периода колебаний системы.
7. Для каждого исследуемого тела сделать 5-7 измерений периода колебаний. По формуле (22) рассчитать моменты инерции исследуемых тел, Для каждого тела данные измерений заносить в отдельную таблицу. Определить средние значения и доверительный интервал для каждого исследованного тела. При расчете моментов инерции тел использовать (предварительно экспериментально найденную) величину углового коэффициента упругости спиральной пружины, равной: G =0,0241±0,0009 Н·М/РАД.
Таблица № 1. Определение момента инерции однородного цилиндра.
В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические величины - момент сил и момент инерции , физический смысл которых раскроем ниже.
Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А , приходит во вращение вокруг оси ОО" (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы
Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р , опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О :
(5.1)
Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы :
(5.2)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью правила правого винта .
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси :
Момент инерции тела относительно оси вращения - сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело :
(5.4)
В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется интегрированием:
, (5.5)
где r - расстояние от оси вращения до элемента массой dm .
Если тело однородно и его плотность ρ = m /V , то момент инерции тела
(5.6)
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,
Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,
(5.8)
Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,
Момент инерции шара относительно диаметра
(5.10)
Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоскости вращения. Пусть масса диска – m , а его радиус – R .
Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .
Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска
Площадь диска . При постоянной толщине кольца,
откуда или .
Тогда момент инерции диска,
Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 5.3 – Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.
Теорема Штейнера
Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md 2:
(5.12)
где m - масса тела, d - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг . м 2).
Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен
Системы на квадраты их расстояний до оси:
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
---|---|---|---|
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | ||
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | ||
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | ||
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | ||
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | |||
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | ||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | ||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | ||
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | ||
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | ||
Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | ||
Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида
где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
---|---|
Прямоугольника высотой и шириной : | |
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
Круга диаметром |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
(1),где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где -
Кто из нас не следил с удивлением и восторгом за тем, как эффектно фигуристы заканчивают свои выступления на ледяной арене? Они начинают вращаться, зафиксировав центр вращения одним коньком и отталкиваясь другим, широко разведя руки в стороны, достигают достаточно большой угловой скорости вращения, а затем быстро прижимают руки к телу. После этого их угловая скорость вращения резко возрастает.
Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек.
Изменяя движением рук момент инерции тела, фигуристка управляет скоростью вращения.
В чем же тут дело? Почему, лишь прижав руки к телу и не прикладывая больше никаких усилий, фигуристу удается резко увеличить угловую скорость своего вращения? Не опровергается ли этим закон сохранения энергии ? Конечно, нет. Объяснение описанного явления дает один из разделов ньютоновской механики - динамика твердого тела. Под твердым телом при этом понимается система частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.
Оказывается, несмотря на сложность задачи о вращательном движении твердого тела, её можно свести к решению уравнений, по форме аналогичных уравнениям Ньютона для поступательного движения. Роль ускорения, силы и массы в этом случае играют угловое ускорение, момент силы и момент инерции. С этими важными понятиями можно познакомиться на простом примере движения одной материальной точки A массой m, которая удерживается на окружности радиуса r с помощью невесомого стержня. Пусть на точку $A$ действует постоянная сила $\overrightarrow{F}.$ Если в данный момент она составляет угол $α$ с радиус-вектором материальной точки $A,$ то её составляющая $F_r=F⋅\cos α$ просто сжимает стержень, а составляющая $F_t=F⋅\sin α$ приводит к появлению тангенциального ускорения $a_t,$ изменяющего величину скорости частицы. (Это ускорение направлено по касательной к траектории частицы. Его следует отличать от центростремительного ускорения, которое всегда направлено к центру вращения и меняет лишь направление вектора скорости частицы.)
Согласно второму закону Ньютона , для тангенциального ускорения можно записать:
$m⋅a_t=F_t=F⋅\sin α.$
По аналогии с угловой скоростью введем угловое ускорение $ε=\frac{a_t}{r}.$ Оно характеризует скорость изменения угловой скоростиω со временем. Тогда равенство (1) будет иметь вид:
$F⋅\sin α=m⋅r⋅\frac{a_t}{r}=m⋅r⋅ε.$
Умножив обе части этого уравнения на радиус, получим:
$F⋅r⋅\sin α=m⋅r^2⋅ε,$
или $M=J⋅ε.$
Величина $M=F⋅r⋅\sin α,$ численно равная произведению силы $F$ на длину перпендикуляра $d=r⋅\sin α,$ опущенного на направление силы из центра вращения (плечо силы), называется моментом силы относительно точки $O.$ Величину $J=m⋅r^2,$ равную произведению массы материальной точки $A$ на квадрат её расстояния до центра вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно точки $O.$
В случае произвольного твердого тела момент инерции характеризуется распределением массы в этом теле и определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек, на которые можно разбить твердое тело:
$J=\sum\limits_{i=1}^{N}{\Delta {{m}_{i}}r_{i}^{2}},$
где $Δm_i$ - масса $i$‑й точки, $r_i$ - её расстояние до оси вращения.
Момент инерции служит мерой инертности тела при вращении и, таким образом, играет ту же роль, что и масса в случае поступательного движения. Однако в отличие от массы тела, которая при обычных условиях остается неизменной, момент инерции можно легко менять. Действительно, даже в рассмотренном выше простейшем случае материальной точки на стержне момент инерции зависел не только от величины массы, но и от того, как далеко она расположена от оси вращения. Поэтому, перемещая материальную точку по стержню от центра вращения, можно увеличивать инерцию вращения такой системы.
В зависимости от формы и выбранной оси вращения твердые тела одной и той же массы могут иметь различные моменты инерции. Так, момент инерции полого цилиндра радиуса $r$ относительно его оси симметрии равен $mr^2;$ однородного шара, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр, - $\frac{2}{5}mr^2;$ однородного цилиндра, вращающегося относительно своей оси симметрии, - $\frac{1}{2}mr^2.$
И момент силы $\overrightarrow{M},$ и угловая скорость $\overrightarrow{ω},$ и угловое ускорение $\overrightarrow{ε}$ так же как и соответствующие им величины силы, скорости и ускорения при описании поступательного движения, являются векторами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы ), причем их направление определяется по правилу буравчика , т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело.
Можно ввести еще один важный вектор: $L=J⋅\overrightarrow{ω},$ называемый моментом количества движения . Являясь аналогом импульса для вращательного движения, он обладает замечательным свойством: момент количества движения замкнутой системы остается постоянным по величине и направлению. Изменяется он только под воздействием приложенных к рассматриваемой системе нескомпенсированных моментов внешних сил.
Вернемся снова к началу этой статьи, где рассказывалось о вращающемся фигуристе. Пренебрегая малыми моментами действующих на него сил сопротивления, можно считать, что он представляет собой замкнутую систему. Поэтому достигнутый им при начальном разгоне момент количества движения $J_1⋅\overrightarrow{ω_1}$ должен сохраняться ($ω_1$ - его начальная угловая скорость, $J_1$ - момент инерции в положении с разведенными руками). Прижимая руки к телу, фигурист, очевидно, уменьшает свой момент инерции до некоторой величины $J_2$ и тем самым увеличивает свою угловую скорость: $ω_2=\frac{J_1}{J_2}.$ Однако в этот момент ему приходится «поработать», так как начальная кинетическая энергия его вращения была $\frac{J_1⋅ω_1^2}{2},$ а конечная становится $\frac{J_2⋅ω_2^2}{2}.$ Разность этих энергий и составляет величину работы фигуриста.
Момент инерции - скалярная (в общем случае - тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Единица измерения СИ: кг·м².
Обозначение: I или J .
2. Физический смысл момента инерции. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу. Сравните. Вращательное движение. Поступательное движение. Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении
Например, момент инерции диска относительно оси О" в соответствии с теоремой Штейнера:
Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
18. Момент импульса твердого тела. Вектор угловой скорости и вектор момента импульса. Гироскопический эффект. Угловая скорость прецессии
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим .
Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса) : . Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:.
угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, и направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки . Исторически сложилось 2 , что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен. Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») − если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.
Вращающееся тело (колесо мотоцикла) стремиться сохранять положение оси вращения в пространстве неизменным.(гироскопический эффект) Поэтому возможно движение на 2-х колёсах, но не возможно стояние на двух колёсах Этот эфект используется в корабельных и танковых системах наведения орудий. (корабль качается на волнах, а орудие смотрит в одну точку) В навигации и др.
Наблюдать прецессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.
Главное свойство прецессии - безынерционность: как только сила, вызывающая прецессию волчка, пропадёт, прецессия прекратится, а волчок займёт неподвижное положение в пространстве. В примере с волчком этого не произойдет, поскольку в нём вызывающая прецессию сила - гравитация Земли - действует постоянно.
19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бирнулли .
Идеальной жидкостью назвается воображаемая несжимаемая жидкость , в которой отсутствуют вязкость, внутреннее трение и теплопроводность . Так как в ней отсуствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.
вязкая жидкость характеризуется наличием сил трения, которые возникают при ее движении. вязкой наз. жидкость , в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения
Рассматриваемые в Г. ур-ния относит. равновесия несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (относительно стенок сосуда, совершающего движение по нек-рому известному закону, напр. поступательное или вращательное) дают возможность решать задачи о форме свободной поверхности и о плескании жидкости в движущихся сосудах - в цистернах для перевозки жидкостей, топливных баках самолётов и ракет и т. п., а также в условиях частичной или полной невесомости на космич. летат. аппаратах. При определении формы свободной поверхности жидкости, заключённой в сосуде, кроме сил гидростатич. давления, сил инерции и силы тяжести необходимо учитывать поверхностное натяжение жидкости. В случае вращения сосуда вокруг вертик. оси с пост. угл. скоростью свободная поверхность принимает форму параболоида вращения, а в сосуде, движущемся параллельно горизонтальной плоскости поступательно и прямолинейно с пост. ускорением а , свободной поверхностью жидкости является плоскость, наклонённая к горизонтальной плоскости под углом
- К чему снится людоед по соннику К чему снится быть каннибалом
- Подарили во сне цветы: что это значит?
- К чему снится терка по соннику К чему снится терка
- Создание ркка Николай Ильич Подвойский
- Апрельский кризис 1917 г
- Социальное страхование от несчастных случаев на производстве Страхование от несчастных случаев и профессиональных заболеваний
- 255 фз от 29.12 06 г. Закон о пособиях по временной нетрудоспособности, беременности и родам — Российская газета. На случай временной нетрудоспособности