Ортогональное проецирование на три плоскости проекций. Проецирование точки Проектирование на три плоскости

По одному изображению оригинала (рис.8) нельзя судить о его форме, размерах и положении в пространстве.

Обратимость чертежа - восстановление оригинала по его проекционным изображениям, может быть обеспечена проецированием на две (три) непараллельные плоскости проекций.

Для удобства проецирования выбирают две (три) взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.9).

П 1 – горизонтальная плоскость проекций.

П 2 – фронтальная плоскость проекций.

П 3 – профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат. Ось Х – называют осью абсцисс, ось Y – осью ординат и ось Z – осью аппликат.

Координатные плоскости делят пространство на восемь частей – октантов. В (табл.1) представлены знаки координат для четырех октантов (четвертей).

Таблица 1.

четверти	Знаки координат

Точка А принадлежит первой четверти. Из данной точки проводят три проецирующих луча к плоскостям проекций П 1 , П 2 , П 3. В результате получают три проекции точки (рис.10).

А 1 – горизонтальная проекция точки А.

А 2 – фронтальная проекция точки А.

А 3 – профильная проекция точки А.

Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами А (X , Y , Z ), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Расстояние от точки А до плоскости проекций П 3 определяется абсциссой X:

АА 3 = А X 0 =X

Расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 определяется ординатой Y:

АА 2 = А 1 А X =Y

Расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 определяется аппликатой Z:

АА 1 = А Z 0= Z

1.4 Комплексный чертеж точки (эпюр монжа)

Пользоваться пространственной моделью (рис.10) для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду ее громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях проекций происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.

Поэтому преобразуют пространственную модель к плоскостному виду - комплексному чертежу.

Комплексным чертежом называется изображение геометрического объекта в двух (трех) проекциях на совмещенных плоскостях проекций.

Для этого, поворачивают плоскость П 1 на 90 0 вокруг оси Х в направлении движения часовой стрелки, до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис. 11).

Плоскость П 3 поворачивают на 90 0 против часовой стрелки вокруг оси Z, до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис.12).

Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной линии, перпендикулярной к оси Х, называемой вертикальной линией связи.

Фронтальная и профильная проекции точки лежат на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оcи Z.

Для того чтобы построить комплексный чертеж точки А (рис.13) по координатам X,Y и Z, необходимо выполнить алгоритм.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Образование отрезка прямой линии АА 1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а"и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа х а" в пространстве - прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и а" - называются проекциями точки А: а" - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия а" а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а" располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х А, у А и z A .

Например, координата z A точки А, равная отрезку а"а х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х А, равная отрезку аа у - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, х А =20 мм, у А =22мм и z A = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z A и вниз координату у А.Из концов отложенных отрезков - точек a z и а у (рис. 88, а) - проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х А. Полученные точки а" и а - фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а" и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z A ;

2) из точки а у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а у1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а у1 и т. д.

Его можно рассматривать как частный случай центрального, при котором центр проецирования удален в бесконечность.

Применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называют прямоугольным или ортогональным.

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального, а так же возникают следующие свойства:

а). Проекции взаимно // прямых //, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций

б). Плоская фигура, // плоскости проекций проецируется на эту плоскость в натуральную величину

в). Если прямая перпендикулярна направлению проецирования, то её проекцией является точка

Если есть центр параллельной проекции, мы не сможем определить положение точки в пространстве.

Гаспар Монж предложил взять две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (горизонтальную П 1 и фронтальную П 2) и используя метод прямоугольного проецирования направить проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям.

П 1 – горизонтальная плоскость проекций

П 2 -фронтальная плоскость проекций

X- ось проекций- линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 или П 1 /П 2

A x A 1 иA x A 2 – перпендикулярны осиX–линии связи

Если есть в пространстве точка А, то опускаем из неё перпендикуляр на П 1 (горизонтальная проекция точки А – А 1) и на плоскость П 2 (фронтальная проекция точки А – А 2)

Но данное наглядное изображение точки в системе П 1 /П 2 для целей черчения неудобно.

Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной, образуя одну плоскость чертежа.

Это преобразование осуществляется путем поворота вокруг оси Х плоскости П 1 на угол 90 о вниз. При этомA x A 2 и A x A 1 образуют один отрезок, расположенный на перпендикуляре к оси проекций Х, называемомлинией связи.

Получили чертеж под названием эпюр Монжа.

Горизонтальная и фронтальная проекции всегда лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

В зависимости от сложности для полного выявления форм деталей бывает необходимо три и более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Проецирование точки на три плоскости проекций. Комплексный чертеж точки.

Получили эпюр Монжа для трех плоскостей или комплексный чертеж точки А

H(П 1) - горизонтальная плоскость проекций

V(П 2) - фронтальная плоскость проекций

W(П 3) - профильная плоскость проекций

А 1 - горизонтальная проекция точки А

А 2 - фронтальная проекция точки А

А 3 - профильная проекция точки А

П 1 и П 2 -образуют ось Х

П 2 и П 3 -образуют осьZ

П 1 и П 3 -образуют ось У

Две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций – координаты точки (X А, У А , Z А ). Задаются числами.

ОА х - абсцисса точки А–координата Х А - расстояние от А до П 3 . ОА х =А 1 А у = А z А 2

ОА у - ордината точки А–координата У А - расстояние от А до П 2 . . ОА у =А х А 1

ОА z - аппликата точки А–координатаZ А - расстояние от А до П 1 . ОА z =А х А 2

Вопросы для самопроверки

Какие есть методы проецирования?

Какие свойства центрального проецирования?

Какие свойства параллельного проецирования?

Как получить проекции точки на две плоскости проекции?

Как получить проекции точки на три плоскости проекции?

Цели и задачи урока:

обучающая: показать учащимся использование метода прямоугольного проецирования при выполнении чертежа;

Необходимость применения трёх плоскостей проекций;

Создать условия для формирования умений проецировать предмет на три плоскости проекций;

развивающая: развивать пространственные представления, пространственное мышление, познавательный интерес и творческие способности учащихся;

воспитывающая: ответственное отношение к черчению, воспитывать культуру графического труда.

Методы, приёмы обучения: объяснение, беседа, проблемные ситуации, исследование, упражнения, фронтальная работа с классом, творческая работа.

Материальное обеспечение: компьютеры, презентация “Прямоугольное проецирование”, задачи, упражнения, карточки с упражнением, презентация для самопроверки.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Словарная работа: горизонтальная плоскость, проекция, проецирование, профильная, исследовательский, проект.

Ход урока

I. Организационная часть.

Сообщение темы и цели урока.

Проведем урок-состязание , за каждое задание вы будете получать определенное количество баллов. В зависимости от набранных баллов будет выставлена оценка за урок.

II. Повторение о проецировании и его видах.

Проецирование – это мыслительный процесс построения изображений предметов на плоскости.

Повторение осуществляется с использованием презентации.

1. Перед учащимися ставится проблемная ситуация . (Презентация 1)

Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений.

Из создавшейся ситуации делается вывод, что все 6 деталей имеют одинаковую фронтальную проекцию. Значит, одна проекция не всегда дает полное представление о форме и конструкции детали.

Какой выход из этой ситуации? (Посмотреть на деталь с другой стороны).

2. Появилась потребность применения ещё одной плоскости проекций. (Горизонтальная проекция).

3. Необходимость в третьей проекции возникает тогда, когда и двух проекций бывает недостаточно для определения формы предмета.

Постановка размеров:

• на фронтальной проекции – длина и высота;
• на горизонтальной проекции – длина и ширина;
• на профильной проекции – ширина и высота.
  

Вывод: значит, чтобы научиться выполнять чертежи, нужно уметь проецировать предметы на плоскость.

Задание 1

Вставьте пропущенные слова в текст определений.

1. Существует _______________ и ______________ проецирование.

2. Если ______________ лучи выходят из одной точки, проецирование называется ______________.

3. Если ______________ лучи направлены параллельно, проецирование называется _____________.

4. Если ______________ лучи направлены параллельно друг другу и под углом 90 ° к плоскости проекций, то проецирование называется ______________.
5. Натуральное изображение предмета на плоскости проекций получается только при ______________ проецировании.

6. Проекции располагаются относительно друг друга______________________________.

7.Основоположником метода прямоугольного проецирования является _______________

Задание 2. Исследовательский проект

Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.

Рис.4

Задание 3

Упражнение на повторение знаний геометрических тел.

По словесному описанию найти наглядное изображение детали.

Текст описания.

Основание детали имеет форму прямоугольного параллелепипеда, в меньших гранях которого выполнены пазы, имеющие форму правильной четырехугольной призмы. В центре верхней грани параллелепипеда расположен усеченный конус, вдоль оси которого проходит сквозное цилиндрическое отверстие.

Рис. 5

Ответ: деталь № 3 (1 балл)

Задание 4

Найдите соответствие технических рисунков деталей и их фронтальных проекций (направление проецирования отмечено стрелкой). По разрозненным изображениям чертежа составьте чертеж каждой детали, состоящий из трех изображений. Ответ запишите в таблицу (рис. 129).

Рис. 6

Технические рисунки	Фронтальная проекция	Горизонтальная проекция	Профильная проекция
А	4	13	10
Б	12	9	2
В	14	5	1
Г	6	15	8
Д	11	3	7

III. Практическая работа.

Задание №1. Исследовательский проект

Найдите фронтальную и горизонтальную проекции к данному наглядному изображению. Записать ответ в тетрадь.

Оценивание работы на уроке. Самопроверка. (Презентация 2)

На доске записаны баллы для оценивания первой части работы:

23-26 баллов “5”

19-22 баллов “4”

15 -18 баллов “3”

Задание №2. Творческая работа и проверка его выполнения
(творческий проект)

Перечертить фронтальную проекцию в рабочую тетрадь.
Дочертить горизонтальную проекцию, изменив форму детали с целью уменьшения её массы.
При необходимости внести изменения на фронтальной проекции.
Для проверки выполнения задания вызвать одного-двух учеников к доске с целью объяснения своего варианта решения задачи.

(10 баллов)

IV. Подведение итога урока.

1. Оценивание работы на уроке. (Проверка практической части работы)

V. Задание на дом.

1. Исследовательский проект.

Работа по таблице: определить к какому чертежу, обозначенному цифрой, соответствует рисунок, обозначенный буквой.

Инструктаж:

- вводный:

последовательность выполнения работы:

1. Анализ геометрической формы предмета;

2. Определение главного вида;

3. Компоновка на листе;

4. Построение чертежа (тонкими линиями);

5. Нанесение размеров конструктивных элементов детали с учетом их удобочитаемости и равномерным распределением по всем видам чертежа;

6. Нанесение габаритных размеров детали(длина, ширина и высота);

7. Проверка правильности и наличия всех достаточных для изготовления и контроля детали размеров;

8. Итоговое оформление чертежа (проверка соблюдения всех линий чертежа);

-текущий:

коррекция и исправление текущих ошибок учащихся в ходе выполнения практического задания;

-заключительный:

Посмотрите еще раз на доску и в свои тетради и сравните чертежи, все ли выполнено правильно?

Сейчас каждый из вас получит карточку с заданием, по которому мы будем работать. Я попрошу мне помочь ребят на первых партах их раздать.

В тетрадях открываем лист с рамкой и основной надписью и чертим перпендикулярно проекционные оси X,Y,Z.

Один человек выходит работать к доске(по желанию), чертит оси, обозначает их, обозначает основные плоскости проекции, указывает расположение видов и зарабатывает оценку.

(Оценивание ученика).

Посмотрите на карточки, которые вы получили и ответьте на вопросы.

Что принято понимать под термином вид?

Это изображение поверхности детали обращенной к наблюдателю.

Какой вид называется главным или видом спереди?

Это вид, который дает наиболее полное представление о форме предмета.

Посмотрите на наглядное изображение детали и попробуйте определить главный вид.

Действительно, этот вид можно взять за главный.

Где мы его расположим?

На фронтальной плоскости проекции.

Как и на прошлых уроках, чертеж начинаем строить с основных габаритных размеров, а затем уже выстраиваем конструктивные (мелкие) элементы.

Построили главный вид, проводим линии проекционной связи на горизонтальную и профильную плоскости проекции. Затем на горизонтальной плоскости проекции строим вид с верху. Для этого проводим горизонтальную линию параллельно оси Х. Не забудьте отступить от оси Х на расстояние 15 мм., так же как и на главном виде. Затем откладываем вниз 75 мм и проводим еще одну параллельную линию. От центральной линии проекционной связи (она же будет у нас осью симметрии) с низу откладываем 5 мм., и получаем вырез. А отложив 15 мм от нижнего края мы получим центровую точку окружности. Проведем оси симметрии и начертим окружность. Сверху на расстоянии 15 мм проведем горизонтальную линию. Вид сверху готов. Кто сможет достроить по двум видам вид слева и получить за это оценку?

(Ученик достраивает вид слева и получает оценку).

Очень важно показать на виде слева невидимые линии чертежа детали. Определить их место расположение очень легко, если провести все линии проекционной связи.

Как наносят размеры.

Для определения величины изображенного изделия или какой-либо его части по чертежу на нём наносят размеры.

Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах, но обозначение единицы измерения не наносят. Общее количество размеров на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для изготовления и контроля изделия. Правила нанесения размеров установлены стандартом. Вот некоторые из них:

1. Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Для этого сначала проводят выносные линии перпендикулярно отрезку, размер которого указывают затем на расстоянии 10 мм от контура детали проводят параллельную ему размерную линию. Размерная линия ограничивается с двух сторон стрелками. Длинна острия стрелки составляет 5 мм. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1 (1…5) мм. Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной линией, ближе к её середине, наносят размерное число.

2. Размерные линии наносят вне контура изображения, но допускается наносить их и внутри контура, если не нарушается удобочитаемость чертежа. Расстояние размерной линии от параллельной ей линии контура должно быть не менее 10 мм, а расстояние между параллельными размерными линиями должно быть в пределах 7... 10 мм. Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий. Первыми от контура располагаются размерные линии с меньшими числовыми значениями.

4.Для обозначения диаметра перед размерным числом наносят специальный знак - кружок, перечеркнутый линией. Если размерное число не умещается внутри окружности, его выносят за пределы окружности с помощью полки-выноски, при этом стрелки так же выносятся наружу, а их концы направляются к центру окружности.

При нанесении размеров на виды очень важно помнить о их равномерном распределении и удобочитаемости.